数学のベクトルの勉強法とは？内積の問題の解き方のコツは？参考書＆問題集も紹介

そもそもベクトルとは？

そもそもベクトルとは何なのでしょう。

ベクトルとはそもそも、方向や位置を表すことに用いられます。

「ベクトルはお絵描き」や「追っかけっこ」などといわれるのもこのため。

単なる方向や位置を表すものなのですが、苦手意識を持つ学生が多いようです。

しかしベクトルの分野では、「難問」というものをあまり聞いたことがありません。

よく文系の国立大学の試験に出ているのは目にしますが、それもこれも一橋レベルの問題であっても、「解き方と使う公式」が決まっています。

文理問わず苦手な理由の一つが「図が書けない」ということでしょう。

そしてその盲点をついてくるのが「センター試験」。

毎年出題され、配点も20点と大きいです。

今回は「センター試験レベル突破のカギ」と「ベクトルの内積」、そして「図の書き方」を紹介します。

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センター試験のベクトルの勉強法

受験生はまずセンターレベルの問題も解けなければ、２次試験に得点に結びつけることはまず不可能でしょう。

まずはセンターレベルの問題を解くコツをいくつか紹介します。

平面でも空間でもやることは同じ

基本的にベクトルは「平面だろうが空間であろうが」やることは同じ。

大きなポイントとしては「始点を全てOにする」「s,tの置き換えをマスターする」「垂線の足が絡む問題は必ず存在条件と垂直条件を求める」ことです。

ベクトルの嬉しいポイントは、勉強し始めてから定着するまでの期間が短いこと。

この３つのポイントを押さえてしまえば、多くの問題に対応できます。

むしろそのほかのポイントは他の分野でも使われるので、あえてここで言う必要もないでしょう。

「始点を変える(視点を変える)」とはこの分野での定石といってもいいでしょう。

視点を変えずに問題を解こうとするストイックさには感動しますが、使えるものはちゃんと使いましょう。

例としてベクトルAPがあるならば、

「ベクトルOP―ベクトルOA」とすることです。

これは大丈夫でしょう。

次に「s.tの置き換え」。

例えば直線AB上に点Pがあるとき、(以下ベクトル省略)

AP=t・AB　ここから始点を変換していきましょう。

OP=OA+t・AB

➾OP=OA+t・(OB-OA)

➾OP=(1-t)OA+t・OB

➾OP=sOA+tOB

となる実数t(またはs.t)が存在する

これで変換に変換を重ねた結果、このような見慣れた式がでてきますね。

三角形の内分のような式であったのではないでしょうか。

まずはこの式を作れるようになることが、はじめの一歩です。

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ベクトルの内積について

ベクトルの内積とは「影」を求めることなのです。

例えばaとbのベクトルがあるとしましょう。

（a,bのなす角θは０°＜θ＜90°）aを水平方向右向きにおきます。

するとbのベクトルは右上にすすみます。

その状態で真上から光をあてると、ベクトルaに「影」ができます。

これが内積と呼ばれるものです。

「じゃあ90°だったら？それよりも大きかったら？」

まずは90°のとき。

同じ条件で光を当ててみます。

するとどうでしょう。

「影」ができないのです。

ですからなす角が90°の時は内積が０なのですね。

つぎに90°よりも大きい角のとき。

これも同じ条件で光を当ててみると、aの上には影ができないことがわかりますね。

じゃあ内積は０で…

ではいけないんです。

この時、bは左斜め上に進むので、aの方向とは逆の方向に影ができてしまいます。

このときの内積は「負の内積」をとることを覚えておきましょう。

図形の書き方のコツ

多くの受験生のミスは「図形が書けないと問題が解けない」と勘違いしています。

全うな意見で、大体の問題は2変数や1変数であらわされている図形問題、空間問題です。

あっちらこっちらめちゃくちゃに移動する変数の図形を書け、というほうが無理な話。

よほどのことがない限り、変数、または未知数が混ざった式から図形を書こうなんて、人間のすることではありませんので、「グラフは最初からかけなくてもよい」のです。

図形と方程式の分野では書けなければ想像しづらく解きにくい問題がおおいので、これは別分野ですが、ベクトルは最初から無理に図形を書こうとおもわず、3つのポイントから攻めていくのが堅実です。

センター試験や中堅国立などの問題は、計算や立式していく間に図形が書けます。

ですので焦らなくてもあとで必ず図形はかける仕組みになっています。

むしろ図形をはなっからかけるような問題はベクトルではなく、図形と方程式問題ですからね。

あせらずしっかりと、正しい式を立て、ポイントを押さえることが重要です。

しっかりと仕組みをつかみ、得点源にしましょう。

ベクトルの理解におすすめの参考書＆問題集

「坂田アキラの ベクトルが面白いほどわかる本」がおすすめ。

ゼロから本当に丁寧に、ベクトルを解説してくれます。

問題も付いているので、実践的な演習もできますよ。

【完全版】数学のベクトルの勉強法まとめ

ベクトルは多くの受験生にとって悩みの種。

ですが一回理解してしまえば確実に満点をとれる分野でもあります。

そしてセンター試験にも毎年でていますので、早めにマスターして、ライバルと差をつけましょう。