高校数学の証明は難しい?できない?問題の解き方のコツと答えの書き方!


証明問題のパターン

 

数学の証明問題といえば「難しい」「答案が合っているか分からない」と、受験においては敬遠されがちな問題ですが、証明問題を解くことが出来れば入試において優位に立てるでしょう。

証明問題は経験がそのまま反映される問題なので、きちんとトレーニングを積んでおいてください。

今回はその証明問題について、基本的なパターンを押さえていきたいと思います。

証明問題を解くための方法としては、主に3つあります。

「命題の対偶をとる証明方法」、「命題を背理法を用いて証明する方法」、「数学的帰納法を用いて証明する方法」の3つ。

それぞれについて便利な点、不便な点があるので、それについて各項目で解説していきます。

>>1ヶ月で早稲田慶應・難関国公立の英語長文がスラスラ読めるようになる方法はこちら

 

対偶を使う場合

 

まず対偶とはどのようなものであったでしょうか。

対偶を理解するためにはまず、命題を理解しなければいけません。

命題とは、真か偽が判定できる文のこと。

例えば は真か偽かが分かります。

同様に「x,y が正の実数のとき、x>y⇒x²>y² 」も真偽の判定が可能です。

また命題の否定というものがあります。

簡単に言えば、「……である」という命題に対し、「……ではない」という命題のことです。

これを命題Pに対して、¬Pと書きます。

 

さて、対偶の説明に入りましょう。

命題P⇒Qの対偶とは命題¬Q⇒¬Pのことです。

命題の対偶が真であれば、元の命題も真であるという性質があります。

元の命題が示せないなと思ったときは対偶を考えて見ましょう

もしかしたら対偶のほうが示しやすく簡単な場合があるかもしれません。

ただし対偶をとってしまうと更に示しにくい命題になってしまったりすることがあるので、そこはキチンと見分ける必要があります。

>>【秘密のワザ】1ヵ月で英語の偏差値が40から70に伸びた方法はこちら

 

背理法を使う場合

 

背理法とはどのようなものだったでしょうか。

命題の結論を否定することにより、その否定からは矛盾が生じると示す証明方法のこと

命題は真であるか偽であるかのいづれかしかないことを考えれば、より分かりやすくなります。

ある命題Pを偽として考えれば、別の真であるような命題が偽になってしまうので、それは矛盾する。

つまりある命題Pは偽ではないので、翻ってある命題Pは真となる。ということです。

良い例が「√2が無理数であることを示せ」でしょう。

この命題が偽、つまり有理数であるとすれば、因数の個数について矛盾するので命題を偽としたことが偽であった、つまり「 2が無理数であること」が示されるのです。

命題背理法はよく対偶と混合されますが、背理法は命題の結論に着目して証明する方法となっています。

結論の否定が簡単な条件式などで表せる場合、背理法を使うといいかもしれません。

 

数学的帰納法を使う場合

 

数学的帰納法とは、様々な種類がありますが、それをすべて含めるようにして説明すると、

あるいくつかの自然数で成立して、いくつかの自然数で成立すると仮定すると、ある一つの自然数で成立することが導けるという証明方法

これが数学帰納法となります。

具体例を挙げましょう。

1.n=1で成立して、n=kで成立すると仮定すると、n=k+1でも成立する

2.n=1,2で成立して、n=k.k+1で成立すると仮定すると、n=k+1でも成立する

3.n=1で成立して、n=1,2,3,……kで成立すると仮定すると、n=k+1でも成立する。

これらがよく使われる数学的帰納法です。

亜種としては

4. あるnで成立して、n=kで成立すると仮定すると、n=k-1でも成立する。

というものがありますが、旧帝大レベルの大学になるとたまにでてくるのでチェックしておきましょう。

特に、「あるnで成立すると背理法を用いて仮定して、4を用いてn=1でも成立することが言えるが、それは仮定に矛盾するので、そのようなあるnは存在しない」という、背理法を交えた証明問題もたまに出るので注意してください。

 

証明問題の解き方とその勉強方法のまとめ

 

以上が証明問題を解く際の基本となります。

これらが使いこなせなければ、証明問題を解くことは難しいでしょう。

大切なのは、何を示すべきで何が仮定されているのかをちゃんと整理することです。

それを肝に銘じて証明問題を解いていきましょう!


⇒【秘密のワザ】1ヵ月で英語の偏差値が40から70に伸びた方法はこちら

⇒【1カ月で】早慶・国公立の英語長文がスラスラ読める勉強法はこちら

⇒【速読】英語長文を読むスピードを速く、試験時間を5分余らせる方法はこちら

   1ヶ月で英語の偏差値が70に到達

現役の時に偏差値40ほど、日東駒専に全落ちした私。
しかし浪人して1ヶ月で「英語長文」を徹底的に攻略して、英語の偏差値が70を越え、早稲田大学に合格できました!

私の英語長文の読み方をぜひ「マネ」してみてください!
・1ヶ月で一気に英語の偏差値を伸ばしてみたい
・英語長文をスラスラ読めるようになりたい
・無料で勉強法を教わりたい

こんな思いがある人は、下のラインアカウントを追加してください!




⇒【秘密のワザ】1ヵ月で英語の偏差値が40から70に伸びた方法はこちら

⇒【1カ月で】早慶・国公立の英語長文がスラスラ読める勉強法はこちら

⇒【速読】英語長文を読むスピードを速く、試験時間を5分余らせる方法はこちら










この記事も読まれています

1

私は受験生の時に、全国記述模 試で22位にランクインし、早稲田大学に合格しました。 その実績を活かして、自ら予備校を立ち上げ、偏差値30台の受験生を難関大へ合格させてきました。 早稲田大学卒という学歴 ...

2

大学受験の勉強を始めるときに誰もが思うのが、「受験勉強って、何をすれば良いの!?」ということ。 「勉強を頑張るぞー!!」という気持ちはあっても、どう動けばよいか分からない。 そして少しずつ熱も冷めてし ...

3

大学受験の勉強、いつから本気出そうかな。 いつから受験勉強を始めれば、志望校に合格できるんだろう。 私も高校2年生の時、こんなことをいつも考えていました。筆者 高校がさほど頭の良いところではなかったの ...

4

私は受験生の時に、全国記述模試で22位にランクインし、早稲田大学に合格しました。 そして自ら予備校を立ち上げ、偏差値30台の受験生を難関大へ合格させてきました。 もちろん模試は下の写真のように、ほとん ...

5

赤本の使い方と復習ノートの作り方!いつから何年分解く? 受験生受験勉強と言ったら赤本ですけど、いつから解くのか、どうやって復習するか全然分からないです・・・。 「赤本」は受験勉強の中で、合否に1番関わ ...

6

インターネットでは「ニッコマは超余裕」なんて書き込みを、目にすることが多いです。 私が受験生の時も「日東駒専は滑り止めにしよう」と、少し見くびってしまっていました。 結果として、現役の時は日東駒専には ...

7

志望校を決めるときに、国公立大学にするべきか私立大学にするべきか、悩みますよね。 少し学力の高い高校だと「国公立大学は私立大学よりも優れている」、「国公立大学を目指すべきだ」という先生方も多いです。 ...

Copyright© 受験の相談所 , 2023 All Rights Reserved.