高校数学の証明は難しい？できない？問題の解き方のコツと答えの書き方！

証明問題のパターン

数学の証明問題といえば｢難しい｣｢答案が合っているか分からない」と、受験においては敬遠されがちな問題ですが、証明問題を解くことが出来れば入試において優位に立てるでしょう。

証明問題は経験がそのまま反映される問題なので、きちんとトレーニングを積んでおいてください。

今回はその証明問題について、基本的なパターンを押さえていきたいと思います。

証明問題を解くための方法としては、主に3つあります。

「命題の対偶をとる証明方法」、「命題を背理法を用いて証明する方法」、「数学的帰納法を用いて証明する方法」の3つ。

それぞれについて便利な点、不便な点があるので、それについて各項目で解説していきます。

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対偶を使う場合

まず対偶とはどのようなものであったでしょうか。

対偶を理解するためにはまず、命題を理解しなければいけません。

命題とは、真か偽が判定できる文のこと。

例えば は真か偽かが分かります。

同様に「x,y が正の実数のとき、x＞y⇒x²＞y² 」も真偽の判定が可能です。

また命題の否定というものがあります。

簡単に言えば、「……である」という命題に対し、｢……ではない｣という命題のことです。

これを命題Pに対して、￢Pと書きます。

さて、対偶の説明に入りましょう。

命題P⇒Qの対偶とは命題￢Q⇒￢Pのことです。

命題の対偶が真であれば、元の命題も真であるという性質があります。

元の命題が示せないなと思ったときは対偶を考えて見ましょう。

もしかしたら対偶のほうが示しやすく簡単な場合があるかもしれません。

ただし対偶をとってしまうと更に示しにくい命題になってしまったりすることがあるので、そこはキチンと見分ける必要があります。

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背理法を使う場合

背理法とはどのようなものだったでしょうか。

命題の結論を否定することにより、その否定からは矛盾が生じると示す証明方法のこと。

命題は真であるか偽であるかのいづれかしかないことを考えれば、より分かりやすくなります。

ある命題Pを偽として考えれば、別の真であるような命題が偽になってしまうので、それは矛盾する。

つまりある命題Pは偽ではないので、翻ってある命題Pは真となる。ということです。

良い例が「√2が無理数であることを示せ」でしょう。

この命題が偽、つまり有理数であるとすれば、因数の個数について矛盾するので命題を偽としたことが偽であった、つまり「 √2が無理数であること」が示されるのです。

命題背理法はよく対偶と混合されますが、背理法は命題の結論に着目して証明する方法となっています。

結論の否定が簡単な条件式などで表せる場合、背理法を使うといいかもしれません。

数学的帰納法を使う場合

数学的帰納法とは、様々な種類がありますが、それをすべて含めるようにして説明すると、

あるいくつかの自然数で成立して、いくつかの自然数で成立すると仮定すると、ある一つの自然数で成立することが導けるという証明方法

これが数学帰納法となります。

具体例を挙げましょう。

1．n=1で成立して、n=kで成立すると仮定すると、n=k+1でも成立する

2．n=1,2で成立して、n=k.k+1で成立すると仮定すると、n=k+1でも成立する

3．n=1で成立して、n=1,2,3,……kで成立すると仮定すると、n=k+1でも成立する。

これらがよく使われる数学的帰納法です。

亜種としては

4. あるnで成立して、n=kで成立すると仮定すると、n=k-1でも成立する。

というものがありますが、旧帝大レベルの大学になるとたまにでてくるのでチェックしておきましょう。

特に、「あるnで成立すると背理法を用いて仮定して、4を用いてn=1でも成立することが言えるが、それは仮定に矛盾するので、そのようなあるnは存在しない」という、背理法を交えた証明問題もたまに出るので注意してください。

証明問題の解き方とその勉強方法のまとめ

以上が証明問題を解く際の基本となります。

これらが使いこなせなければ、証明問題を解くことは難しいでしょう。

大切なのは、何を示すべきで何が仮定されているのかをちゃんと整理することです。

それを肝に銘じて証明問題を解いていきましょう！