【大学受験】三角関数の定義と勉強法!加法定理や微分積分、公式の覚え方!苦手な計算も!


【大学受験】三角関数の勉強法

【大学受験】三角関数の定義と勉強法

 

三角関数を知らなければ、まず「テスト」と名の付くものは突破できないでしょう。

というくらい大事な分野です。

なぜ大事なのか?

それは「変形や置き換え、応用が多様」なことにあります。

例えば加法定理。Sin(θ+α)としたときの展開方法などです。

そして微分。「Sinθを微分するとcosθになる」など。

例挙すればキリがないですね。

ですので大学受験の入試問題で狙われやすいポイント、分野の解説を、端的にわかりやすく、そして応用が利く方法で説明していきます。

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三角関数の定義

 

まず三角関数なのですから、基準は三角形を基本とします。

が、三角形を基準としてしまうとSigθ(0<θ<π)でしか定義できません。

なにが困るのかといえば、180°以上で使えないことです。

勿論「0<θ<πの間で」という条件付きならば証明、定義することは可能です。

しかし、東大のような難関大学では一筋縄ではいきません。

実際に問題で「π以上を含むときの定義を述べよ」という趣旨の問題が出されましたが、はたして何人の受験生が解けたのでしょう。

多くの受験生は「三角形」を使って定義したのではないでしょうか。

おそらく2,3点はもらえる程度でしょう。

ですが確実に満点の回答を出すには、単位円で考える必要があります。

ポイントはsinT、cosT(Tは実数)とするときの定義の仕方です。

 

単位円周上の点P(x,y)とおき、原点との距離を出すとき、それは半径1に等しいので

x²+y²=1…①

x=cosT. y=sinT としたとき、相互関係より、①は実数Tに関係なく成り立つ。よって…

 

と、これでθがどんな値でも成り立つことが言えました。

このように単位円を使えばあっさりと確認できます。

ここで重要なのは円についてを考えていたが、結局は「三角形に帰着する」ということです。

なので「…」以降は教科書に載っている工程を真似するだけですので省略です。

このように、知っているようでしらない定義の仕方。

覚えて使いこなせればどんなイレギュラーな問題にも対応できます。

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三角関数と微分積分

 

三角関数は数Ⅲ分野に多く登場する、微積分の中に出てくることがあります。

そもそもの話、なぜSinは微分したらCosになるのでしょうか。

答えは接戦の傾きをとるからです。

まだ学習していない受験生は何となく程度に聞き流すのもいいでしょう。

「f(x)について、x=1の時の接戦の傾きを求めなさい」と言われれば「微分する」ことが定石です。

つまり、多くの生徒は意識下で微分すれば接戦の傾きになることを知っています。

そもそも「微分」とはそのことと全くの同値ですからね。

ですのでSinを微分するということはSinの傾きを出すことなのです。

 

図(y-θ)を描いてみるとわかりやすいですが、Sinθが原点の時、傾きは実は1。

ですが(θ=2分のπ)に近づくにつれて傾きがどんどん小さくなっていきますね。

ですのでこの間、Cosの値が1からへっていき、2分のπになったときにはSinの傾きは0になってしまう、つまりCosの値は0になるということです。

同じようにやっていけば同じ結果がえられます。

ですので「簡単に、何となく」で覚えたい受験生はこれが一番間違えのない、簡潔な記憶の仕方です。

勿論、本来は導関数の定義や極限を用いて証明しなければいけないのですが、そこまで深く理解しなくても大丈夫。

という受験生はこの方法で覚えてしまうのが手っ取り早いです。

 

大学受験の三角関数まとめ

 

これでおわり?とおもった人も多いでしょう。

まだまだ公式は多く存在します。

加法定理や余弦定理、正弦定理や倍角、半角公式。

しかし、それは今回述べた定義と微分の「延長線上」でしかありません。

加法定理なんかの証明は日が暮れそうなくらいに面倒くさいですが…

 

ですが、定義や微分の意味も知らないでこれから出てくる公式の意味がわかりますか?と言われれば黙ってしまうのが現実です。

なので公式はあくまで「定義からなっている簡潔な式」であり、それを知っていなければ公式もへったくれもありません。

ですので今回は「三角関数とはなに?」「定義はどう決まっている?」「なぜ微分するとこうなるのか?」という根本的な問題に触れました。

これを理解できれば、これから出てくる沢山の公式の意味を理解することができるはずです。





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