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大学受験の1次関数とは?一次関数をわかりやすく解説!問題の解き方のコツや求め方など


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大学受験の一次関数をわかりやすく解説

 

大学受験における1次関数の概要

 

大学受験の数学において重要な単元の一つが、1次関数。

二次関数を解く際にも、1次関数を利用することもあります。

1次関数の概要としては2つの変数x、yがあるとき、1次関数は次の式で表されます。

y=ax+b(ただし、a,bは定数とします)

重要な定義なので、必ず覚えといてください。

 

またy=f(x)とも表します。

a=0のときy=bとなるので、xがどんな値になってもy=bとなります。

これを定数関数と呼びます。

また関数y=f(x)について、x=pのときのyの値をf(p)で表し、x=pの時のf(x)の値がf(p)となります。

例としてはf(x)=3x-4のとき、f(3)=3×3-4=5となり、この5という数字が値となります。

 

関数y=f(x)について、xのとりうる値の範囲をこの関数の定義域と呼びます。

xが定義域の中のすべての値をとるときのyの値を値域と呼びます。

定義域が設定されていないときはすべての実数で考えることが多いです。

例 y=3x-4(xの範囲記述なし)定義域→すべての実数

値域→すべての実数

y=3x-4(1≦x≦4)定義域→1≦x≦4

値域→‐1≦x≦8

 

関数のグラフとしては、y=f(x)のとき、座標平面上での(p,f(p))を座標にもつ店全体からなる図形をy=f(x)のグラフと表現します。

これは2次関数でも使います。

グラフとしては、y=ax+bのa、bの部分、つまりは傾きによって変わってきます。

 

 

このようにaがかわることにより正か負かで変わってきます。

関数y=f(x)においてその値域に最も大きな値があるとき、その値を最大値、最も小さい値を最小値といいます。

xの定義域の端と端、例えば‐1≦x≦1のx=‐1と1のとき、yは最大値、最小値となることが多いです。

またa>0の時はxの数字が小さいほうが最小値、大きいほうが最大値を取ります。

ここではx=-1のほうが小さいので最小値、x=1の時が最大値になります。

a<0のときは逆で数字が小さいほうつまりはx=-1の時が最大、大きいほうが最小値を取ります。

a>0  xの定義域の小さいほう→yは最小値 大きいほう→yは最大値

a<0  xの定義域の大きいほう→yは最小値 小さいほう→yは最大値

 

大学受験における1次関数の勉強法

 

xの定義域、yの値域の指定をして、傾きとy切片を求める問題が頻出。

例えば、a>0のとき、y=ax+b(-1≦x≦1)で、(0≦y≦2)のときaとbの値を求めよというような問題。

このときはxの範囲の端と端が最大、最小となるので(x、y)=(-1,0),(1,2)を代入し0=-a+b,2=a+bという二次方程式になり、これをとくと、a=1,b=1となります。

xyの定義域、値域を書かずにf(x)=ax+bとする、f(-1)=0,とf(1)=2のときのa,bを求めてくださいという問題も良く見られます。

さっきの問題と全く同じことを聞いており、同じ、a=1,b=1となります。

このように形を変えて出題されるので、たくさん演習して慣れておかなければいけません。

またグラフを書かせる問題も出ますので、自分でグラフを書く習慣もつけておきましょう。

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