鉛直投げ上げとは？計算方法や問題の解き方、公式の覚え方！最高点と対照性【物理勉強法】

鉛直投げ上げとは、その名の通り物体を真上に投げ上げる等加速度運動のこと。

投げ上げの勉強をしていてよくある質問が「なぜ重力加速度が -g になるのか」「公式がややこしい」「最高点にたどり着くまでの時間が求められない」など。

今回はそれらの疑問を解決していきましょう。

鉛直投げ上げの公式

先ほど述べたように投げ上げは等加速度運動の仲間ですので、まず等加速度直線運動の公式を確認しましょう。

x=v0t+12at2

v=v0+at

v2−v01=2ax

投げ上げでは上向きを正にとります。

落下運動全てに言えることですが、「初速度の向きを正にとる」と覚えておきましょう。

重力加速度は常に下向きなので、負になります。

これが投げ上げのときに重力加速度が -g になる理由。

等加速度直線運動の公式で「加速度 a を -g，変位 x を y に」置き換えます。

すると投げ上げの公式ができあがり

y=v0t−12gt2

v=v0−gt

v2−v02=−2gy

となります。

公式を覚えるコツですが、自由落下・投げ下ろし・投げ上げの3種類を改めて暗記するのは骨が折れますよね。

まずは等加速度直線運動の公式を覚え、3種類の落下運動における加速度の対応を覚えましょう。

そうすることで(3種類の運動)✕(3つの式)＝9つの式を丸暗記する必要がなくなります。

今回のテーマである投げ上げにおいては、「加速度 a を -g」「変位xをyに」置き換えましょう。

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投げ上げでよく問われること

最高点とは

投げ上げについては最高点に関する問題がよく出題されます。

物体を投げ上げるときの様子を想像してみてください。

徐々に速度が落ちていって最高点では速度は0になってしまいますよね。

これを数学的に考えると、v=0 ということになります。

上記の公式の第二式に代入すると

0=v0−gt

より

t=v0g

となり、これが最高点に到達するまでの時間になります。

この式を第一式に代入すれば

y=v0∙v0g−12g(v0g)2=v022g

となり、これは最高点の高さになります。

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対称性とは

先の公式

y=v0t−12gt2

は変位に関する公式ですが、これを平方完成すると

y=−12g(t−v0g)2+v022g

これは軸がv0 /gで原点を通る放物線です。

2次関数のグラフは軸に関して対象なのでもう一度x軸と交わる点(=投げ上げて元の位置に帰ってくる点)までの距離はこの二倍ということになります。

つまり「投げて帰ってくるまでの時間」は

t2=2v0g

ということになります。

これは変位に関する公式でy=0(投げ上げる地点)としてtに関する2次方程式を解いても求めるられます。

この戻ってくるまでの時間t2を速度の代入すると

v=v0−g(2v0g)=−v0

となり、投げて戻ってくるときの速度は初速度と同じ大きさで逆向きとなります。

鉛直投げ上げの概要と勉強法まとめ

鉛直投げ上げの公式を覚えることにつまずく人はたくさんいますが、等加速度直線運動の公式で「加速度aを-g, 変位xをyに置き換え」をするということさえ守れば簡単に理解することができます。

他の自由落下や投げ下ろしに関しても同様。

また微分積分を学習した方は変位の式を時間tで微分すると速度の式が導出でき、速度の式をtについて解き、変位の式に代入することで第三式を導出できるということも覚えておくと良いでしょう。